Limit analysis（限界解析）について
原子力コードRCC-MRで認められている解析手法の一つとして、Limit analysis（限界解析）がある。
これは、従来一般的な、応力を膜応力・曲げ応力に線形化して（評価線を引いて）評価する手法に対し、より簡便に塑性崩壊の評価を行えるメリットを持つ手法である。線形化評価では、評価線をどこに引くか、また算出された応力がピーク応力なのか局所応力なのかを判断する基準が必ずしも明示的ではなく、解析者によって評価の仕方が若干変わり得るという課題がある。
ITERの真空容器の構造解析においては、Limit analysisの使用実績があり、特にポートの付け根付近など応力集中が生じやすい箇所の評価において採用されている手法である。
弾性解析では、発生応力が降伏応力を超えると、それ以降のひずみ量を適切に評価できなくなるため、崩壊荷重そのものを評価することができない。一方、弾塑性解析（材料の非線形性を考慮する解析）では、より実際の挙動に近い評価が可能になるものの、非線形性を扱うための前提条件の設定や計算コストの増大といった課題がある。Limit analysisは、この両者の中間に位置する解析手法であり、下界定理と完全弾塑性体という2つの考え方を組み合わせることで、静的な構造解析によって安全側に崩壊荷重を評価することができる。
下界定理
力の釣り合いが取れており、かつどこにも降伏応力を超えない応力分布を一つでも見つけることができれば、その荷重は真の崩壊荷重以下であることが保証される、という定理である。この定理により、解析者が変形の適合条件まで厳密に満たす形で応力分布を求めなくても、力の釣り合いと降伏条件さえ満たしていれば、安全側の評価になることが数学的に保証される。
完全弾塑性体
応力-ひずみ線図を二直線（バイリニア）で近似したモデルを指す。降伏応力に達するまでは、弾性解析と同様に応力とひずみが比例して単調増加するが、降伏応力に到達すると、応力は一定のままひずみのみが増加する、という単純化されたモデルである。
実際の判定方法
崩壊荷重の実務的な判定方法には、大きく2つのアプローチがある。一つは、荷重を増加させながら代表点の変位（または回転角）をプロットし、弾性域における勾配を半分にした直線と荷重-変位曲線との交点を崩壊荷重とみなす「二倍弾性勾配法」である。もう一つは、局所ひずみがある基準値（対象や適用する規格によって異なる）に達した時点の荷重を崩壊荷重とみなす方法である。いずれの方法においても、算出された崩壊荷重を実際の設計荷重と比較することで、設計上の裕度を算出することができる。
ANSYSによる検証：片持ち梁モデルでの崩壊荷重評価
理論の理解を深めるため、単純な片持ち梁モデルを用いてANSYSによる数値解析を行い、理論値との整合性を確認した。
モデル条件
- 断面：10 mm × 10 mm（矩形断面）
- 長さ：100 mm
- 材料モデル：完全弾塑性体（降伏応力 200 MPa、硬化係数ゼロのバイリニアモデル）
- 境界条件：根本を完全固定（Fixed Support）、先端に集中荷重を漸増的に付加
[図1：材料モデル（応力-ひずみ線図）]
材料物性としては、降伏応力200 MPaに達するまでは弾性的に振る舞い、降伏後は応力が一定のまま、ひずみのみが増加する完全弾塑性体を設定した。理論通りの二直線（バイリニア）モデルとして入力されていることが確認できる。
[図2：境界条件]
理論値との比較
矩形断面の片持ち梁における全塑性モーメント Mp は、
![\[M_p = \sigma_y \cdot \frac{bh^2}{4}\]](https://fusion-technologies.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa1d6c7b195de366ec3e83bbc4ada977_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
で与えられる。今回の条件（σy = 200 MPa、b = h = 10 mm）を代入すると、
![\[M_p = 200 \times \frac{10 \times 10^2}{4} = 50{,}000 \, \text{N・mm}\]](https://fusion-technologies.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-197d8b1ae0292889aeeec9abf1d54d06_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
先端荷重 P と根本モーメント Mp の関係（Mp = P・L）から、理論上の崩壊荷重は、
![\[P_{collapse} = \frac{M_p}{L} = \frac{50{,}000}{100} = 500 \, \text{N}\]](https://fusion-technologies.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfeb1aab275d22cc9d6dd94b5494f97c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
と求まる。
解析結果：荷重-ひずみ曲線と二倍弾性勾配法
[図3：崩壊荷重評価グラフ（二倍弾性勾配法）]
先端荷重を漸増させながら得られた荷重-ひずみ曲線を上図に示す。弾性域の傾き（基準線）に対し、その傾きを半分にした直線を引き、荷重-ひずみ曲線との交点を読み取ると、崩壊荷重は約500Nとなり、理論値（500 N）とほぼ完全に一致する結果が得られた。
先端変位を用いた荷重-変位曲線では、局所的な塑性化の影響が梁全体の変形に対して相対的に小さいため、ひずみで見たときほど明瞭な非線形性が現れにくい。今回、崩壊荷重の判定にひずみを用いたのは、塑性ヒンジが形成される固定端の挙動をより直接的に捉えるためである。
応力・ひずみ分布による検証
[図4：応力コンター（Elemental Mean表示）]
[図5：ひずみコンター]
崩壊荷重を超えた荷重条件（700 N）における応力分布を確認すると、根本付近の最大応力は199.96 MPaとなり、設定した降伏応力200 MPaを超えないことが確認できる。あわせて同条件下でのひずみ分布を確認すると、応力が降伏応力に到達している根本付近において、有意な塑性ひずみ（最大約0.004 mm/mm）が生じていることが確認できる。応力・ひずみ両方の分布が根本付近で対応していることから、この挙動が数値誤差ではなく、実際に塑性化が進行した結果であることが裏付けられる。
なお、応力コンターの表示方法（節点平均かElemental平均か）によっては、隣接要素間の外挿・平均化処理により、見かけ上降伏応力をわずかに超える値が表示される場合がある。今回はElemental Mean表示を用いることで、材料モデルとして設定した降伏応力を超えない、理論と整合する結果を確認している。
まとめ
単純な片持ち梁モデルではあるが、理論計算（全塑性モーメントからの崩壊荷重）と、ANSYSによる数値解析（二倍弾性勾配法による判定）の結果がほぼ完全に一致することを確認した。あわせて、応力・ひずみ両方のコンター図から、崩壊荷重を超えた領域で実際に塑性化が進行していることも視覚的に確認できた。
